Основы
логики
Первые учения о формах и способах рассу= ;ждений возникли в стрk= 2;нах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современноl= 1; логики лежа = 90; учения, созд= 072;нные в 4 веке до нашей эры древне-гре = 95;ескими мыслителямl= 0;. Основы формальной = 83;огики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи о= 090; ее содержаниn= 3;. Он исследовал терминологl= 0;ю логики, подробно разобрал теорию умозаключеl= 5;ий и доказательl= 9;тв, описал ряд логических операций, сформулироk= 4;ал основные за = 82;оны мышления.
Логика изуча= ет внутреннюn= 2; струк= ;туру процесса мышления, который реализуетсn= 3; в таких= естественl= 5;о сложившихl= 9;я формах как п= 086;нятие, суждение, умозаключеl= 5;ие и доказател = 00;ство.
По= нятие. Понятие - это форма мышления, отражающая наиболее существеннm= 9;е свойства предм= ;ета, отличающие его от други= 093; предметов. В &#= 1089;труктуре каждого понятия нужно различать две стороны: содержание = 80; объем. Содержание понятия составляет совокупносm= 0;ь существеннm= 9;х признаков предмета. Чтобы раскр = 99;ть содержание понятия, следует выделить признаки, необходимыk= 7; и достаточныk= 7; для выделения д = 72;нного предмета по отношению к другим пред = 84;етам.
Объем понятия определяетl= 9;я совокупносm= 0;ью предметов, на которую он = 86; распростраl= 5;яется, и может быть представлеl= 5;о в форме множества объектов, состоящего из элементо = 74; множества. Алгеб= ра множеств, одна из основополаk= 5;ающих современныm= 3; математичеl= 9;ких теорий, позволяет исследоватn= 0; отношения между множествамl= 0; и, соответст= 074;енно, объемами понятий.
Между множествамl= 0; (объемами понятий) мог= 091;т быть различные виды отношений:
· р = 72;внозначнос&#= 1090;ь, когда объем = 99; понятий пол = 85;остью совпадают;
· п = 77;ресечение, когда объем = 99; понятий частично совпадают;
· п = 86;дчинения, когда объем одного понятия пол = 85;остью входит в объем другого и т.д. =
Для наглядной геометричеl= 9;кой иллюстрациl= 0; объемов понятий и соотношениl= 1; между ними используютl= 9;я диаграммы Эйлера-Венн = 72;. Если имеютс = 03; какие-либо понятия A, = B, C &#= 1080; т.д., то объем каждого понятия (множество) м&#= 1086;жно представитn= 0; в виде круга, а отношения = 084;ежду этими объемами (множествам = 80;) в виде перес= 077;кающихся кругов.
&= nbsp; Приме&#= 1088;. Отобразить = 89; помощью диаграммы Эйлера-Венн = 72; соотношениk= 7; между объемами понятий натуральн = 99;е числа и четные числа.
Объем понятия натуральн = 99;е числа включает в себя множество целых положительl= 5;ых чисел А, а объем понятия четные числа включ= ает в себя множество отрицательl= 5;ых и положител = 00;ных четных чисе = 83; В. Эти множества пересекаютl= 9;я, т.к. включают &= #1074; себя множество положительl= 5;ых четных чисе = 83; С.
Совокупн= ;ость всех сущест = 74;ующих множеств образует всеобщее универсальl= 5;ое множество 1, которое позволяет отобразить множество л = 86;гически противополl= 6;жное к заданному. Так, если задано множество А, то существует множество НЕ А, которое объединяет все объекты, невходящие во множеств = 86; А. Множество НЕ А дополняет множество А до универсальl= 5;ого множества 1.
Пр= имер. Отобразить = 89; помощью диаграммы Эйлера-Венн = 72; множество натуральныm= 3; чисел А и множество НЕ А.
На диаграммы Эйлера-Венн = 72; универсальl= 5;ое множество 1 изображаетl= 9;я в виде прямо= 091;гольника, множество А в форме круга, а множество НЕ А в форме прямоугольl= 5;ик минус круг.
Вы= сказывание. Высказыванl= 0;е (суждение) - это форма мышления, выраженная = 89; помощью понятий, посредствоl= 4; которой что-либо утверждают = 80;ли отрицают о предметах, и= 093; свойствах и отношениях между ними.
О предметах можно судит = 00; верно или неверно, т.е. высказыванl= 0;е может быть истин= 085;ым или ло= ;жным. Истинным будет суждение, в котором связь понят = 80;й правильно отражает свойства и отношения р = 77;альных вещей. Ложны= 084; суждение будет в том с&#= 1083;учае, когда= ; связь= ; понят= ;ий искажает объективныk= 7; отношения, н= 077; соответствm= 1;ет реальной дейст= ;вительност = 80;.
&nb= sp; &n= bsp; Обоснованиk= 7; истинности или ложност = 80; простых высказыванl= 0;й решается вн = 77; алгебры логики. Например, истинностn= 0; или ложность высказываl= 5;ия: "Сумма углоk= 4; треугольниl= 2;а равна 180 градусов" уl= 9;танавливае= 090;ся геометрией, причем — в геометрии Евклида это высказыванl= 0;е является истинным, а в геометрии Лобачевскоk= 5;о — ложным.
В
естественнl=
6;м
языке
высказыванl=
0;я
выражаютсn=
3;
повествовk=
2;тельными
предложениn=
3;ми.
Высказыванl=
0;е
не может
быть
выражено
повелителn=
0;ным или
вопроситеl=
3;ьным
предложениk=
7;м,
оценка
истинности
или ложност
=
80;
которых
невозможна.
= Высказыванl= 0;е называется &= #1087;ростым, если никака = 03; его часть сама не является вы = 89;казыванием. Высказыванl= 0;е, состоящее и = 79; простых высказыванl= 0;й, называются &= #1089;оставным (сложным).
Высказыванl= 0;я имеют определеннm= 1;ю логическую форму. Понятие о предмете мы = 89;ли называется субъе= 082;том и обозначаетl= 9;я буквой S, а понятие о свойствах и отношениях предмета мысли называется преди= 082;атом и обозначаетl= 9;я буквой P. Оба эти понятия - субъект и предикат называются терминами суждения. Отношения между субъектом и предикатоl= 4; выражаетсn= 3; связк= 086;й «есть», «не есть», «является», «состоит» и т.д.
Таким образом, каждое высказыванl= 0;е состоит из трех элементов - субъекта, пр= 077;диката и связки (двух терминов и связки). Состав суждения мо = 78;но выразить общей формулой «S есть "» или «S не есть P».
Пр&= #1080;мер. Определить, что в суждении «Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств» является субъектом, предикатом = 80; связкой.
«Компьют= ер» - субъект, «процессорk= 2;, памяти и внешних устройств&raqu= o; - предикат, «с= 086;стоит» - связка.
Пр&= #1077;дикат. В современноl= 1; логике предикат рассматривk= 2;ется как функционалn= 0;ная зависимостn= 0;. В общем случае предикат от n переменных (от n неопределеl= 5;ных понятий) выр= 072;жается формулой:
=
Р (х1,х2,...,х
При n =3D 1, когда один и= 079; терминов является неопределеl= 5;ным понятием, мы имеем предикат первого порядка, например, «х – человек».
При n =3D 2, когда два термина неопределеl= 5;ы, мы имеем предикат второго порядка, например, «х &#= 1083;юбит y».
При n =3D 3, когда неопределеl= 5;ны три термина, мы имеем предикат третьего порядка, например, «z - сын x и y».
Пр= имер. В вышеописа = 85;ных предикатах заменить неопределеl= 5;ные термины на конкретные понятия.
= Преобразуk= 7;м предикаты в высказыванl= 0;я путем= ; подстановl= 2;и вместо переменных соответствm= 1;ющих понятий: x =3D «Сократ», y =3D «Ксантиппа&raqu= o;, z =3D «Софрониск&raqu= o;:
&= nbsp; «Сократ – человек»;
«К= 089;антиппа любит Сократа»
«С= 086;фрониск - сын Сократа и Ксантиппы&raq= uo;.
Ум= озаключениk= 7;. Умозаключеl= 5;ие - это форма мышления, посредствоl= 4; которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, п= 086; определеннm= 9;м правилам логическогl= 6; вывода получается новое знани = 77; о предметах реального мира (вывод).
Умозаклю= ;чения бывают дедуктивныk= 7;, индуктивныk= 7; и по аналогии. В &#= 1076;едуктивных умозаключеl= 5;иях рассуждениn= 3; ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропрl= 6;водны» и «Ртуть является металлом» путем умоза = 82;лючения можно сделать вывод, что: «Ртуть электропроk= 4;одна».
В индуктивныm= 3; умозаключеl= 5;иях рассуждениn= 3; ведутся от частного к общему. Например, ус= 090;ановив, что отдельные металлы - желез= ;о, медь, цинк, алюминий и т.д. - обладают свойством электропрl= 6;водности, можно сделать вывод, что все металлы электропрl= 6;водны.
&nb= sp; У= 084;озаключени&= #1077; по аналогии представляk= 7;т собой движение мысли от общности одних свойс = 90;в и отношений = 091; сравниваемm= 9;х предм= ;етов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав Солнца и Земли сходе = 85; по мн= огим показателn= 3;м, поэтому, когда на Сол= 085;це обнаружили неизвестныl= 1; еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.
До= казательстk= 4;о. Доказательl= 9;тво есть мыслительнm= 9;й процесс, направленl= 5;ый на подтверждеl= 5;ие или опроверженl= 0;е какого-либо положения посредствоl= 4; других несомненныm= 3;, ранее обоснованнm= 9;х доводов. Доказателn= 0;ство по своей логической форме не отличается от умозаключеl= 5;ия. Однако, если в умозаключеl= 5;ии заранее ис = 93;одят из истинности посылок и следят толь = 82;о за правильносm= 0;ью логическогl= 6; вывода, в док&#= 1072;зательстве подвергаетl= 9;я логической проверке истинность самих посылок.
Алгебра
высказыванl=
0;й
&nbs= p; Алгебра в широком смысле этог = 86; слова наука об общих операциях, аналогичныm= 3; сложению и умножению, которые могут выпол = 85;яться над различными математичеl= 9;кими объектами (алгебра переменных = 80; функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектам= и алгебры логики являются высказыванl= 0;я.
Ал= ;гебра логики отвлекаетсn= 3; от смыслово = 81; содержателn= 0;ности высказыванl= 0;й. Ее инm= 0;ересует только один факт — истинно или = 083;ожно данное высказыванl= 0;е, что дает возможностn= 0; определять истинность или ложност = 00; составных высказыванl= 0;й алгебраичеl= 9;кими методами.
Простые k= 4;ысказывани= 103; в алгебре логики обоз = 85;ачаются заглавнымl= 0; латин= ;скими буквами:
А <= /span>=3D {Аристотель - основополоk= 8;ник логики}
В =3D {На яблонях растут бананы}.
Ис= ;тинному выскk= 2;зыванию ставится в соответствl= 0;е 1, ложному — 0. Таким образ = 86;м, А =3D 1, В =3D 0.
Составные k= 4;ысказывани= 103; на естественнl= 6;м языке образ = 91;ются с помощью союзов, которые в алгебре выс = 82;азываний заменяются на логические = 86;перации. Логические операции задаются та = 73;лицами истинности = 80; могут быть графически проиллюстрl= 0;рованы с помощью диаграмм Эй = 83;ера-Венна.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)= :
·= в естественнl= 6;м языке соответствm= 1;ет союзу и;
·= в алгебре высказыванl= 0;й обозначениk= 7; &;
·= в языках программирl= 6;вания обозначениk= 7; And.
Конъю = 85;кция - это логич = 77;ская операция, ставящая в соответствl= 0;е каждым двум простым высказыванl= 0;ям составное высказыванl= 0;е, являющееся истинным то = 75;да и только тогда, когда оба исходны = 93; высказыванl= 0;я истинны.
В алгебре множеств конъюнкции соответствm= 1;ет операция пересечен = 80;я множеств, т.k= 7;. множеству получившемm= 1;ся в результат = 77; умножения множеств А и В= соответствm= 1;ет множество, состоящее и = 79; элементов, принадлежаm= 7;их одновременl= 5;о двум множествам.
|
Та = 73;лица истинности |
Диа&#= 1075;рамма Эйлера-Венн&#= 1072; |
|||||||||||||||
|
|
Например= ;, вы пришли устра = 80;ваться на работу по объявлению, = 074; котором оговариваеm= 0;ся, что от вас требуется знание компьютера = 80; стаж работы по специальноl= 9;ти. Условие может быть сформулироk= 4;ано так, «имеете &#= 1089;таж работы?» И «знаете компьютер?». На каждый из двух просты = 93; вопросов можно ответить и «да» и «нет».
Операция И дает вам всего один вариант при = 85;ятия положительl= 5;ого решения, наличие ста = 78;а работы и знание компьютера одновременl= 5;о.
Принятие решения по этому сложному условию имеет все то= 090; же стандартныl= 1; вид, если условие истинно, то вы принимаетеl= 9;ь на работу (в противном случае, очевидно, не принимаетеl= 9;ь).
&#= 1051;огическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
· в естественнl= 6;м языке соответствm= 1;ет союзу или;
·=
обозн
=
72;чение
·= в языках программирl= 6;вания обозначениk= 7; Or.
Дизъюнкция= - это логическая операция, которая каждым двум простым высказыванl= 0;ям ставит в соответствl= 0;е составное высказыванl= 0;е, являющееся ложным тогд = 72; и только тог= 076;а, когда оба исходных высказыванl= 0;я ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказы = 74;аний истинно.
В алгебре множеств дизъюнкции соответствm= 1;ет операция объединен = 80;я множеств, т.k= 7;. множеству получившемm= 1;ся в результат = 77; сложения множеств А и В= соответствm= 1;ет множество, состоящее и = 79; элементов, принадлежаm= 7;их либо множеству А, либ = 86; множеству В.
|
Таблица истинности |
Диаграмма Эйлера-Венн&#= 1072; |
|||||||||||||||
|
|
Н= ;апример, мама = 76;иктует вам сложное условие, есл= 080; ты уберешь в комнате или вымоешь всю посуду посл = 77; ужина, то пой&#= 1076;ешь на дискотек = 91;. Условие можно запис = 72;ть так, «убрал в комнате?» ил= 080; «вымыл посу = 76;у?»
Н= ;а каждый из двух просты = 93; вопросов можно ответ = 80;ть «да» и «нет». Решение принимаетсn= 3; в зависимостl= 0; от ответа на эти вопросы.
Опеl= 8;ация ИЛИ дает вам три различных варианта принятия положительl= 5;ого решения по в= 086;просу, или убрать, или вымыть посуду, или с&#= 1076;елать то и другое.
П= ;ринятие решения по этому сложному условию имеет следующий вид, если сложное условие истинно, то можно идти н= 072; дискотеку (в противном случае, очевидно, придется сидеть дома).
Л&#= 1086;гическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):
·= в естественнl= 6;м языке соответствm= 1;ет словам неве&= #1088;но, что... и частице не;
·=
обозн
=
72;чение
;
·= в языках программирl= 6;вания обозначениk= 7; Not;
Отриц
=
72;ние
- это
логическая
операция,
которая каж
=
76;ому
простому
высказыванl=
0;ю
ставит в соо=
090;ветствие
составное
высказываl=
5;ие,
заключающеk=
7;ся
в том, что
исходное вы
=
89;казывание
отрицается.
П= ;усть А =3D «два умножить на два равно четырем» истинное высказыванl= 0;е, тогда высказыванl= 0;е F,об= ;разованное с помощью операции логическогl= 6; отрицания, «два умножить на = 076;ва не равно четырем» - ло&#= 1078;но.
В
алгебре
множеств
логическомm=
1;
отрицанию
соответствm=
1;ет
операция дополнени =
03;
до
универсальl=
5;ого
множества,
т.е.
множеству
получившемm=
1;ся
в результат
=
77; отрицания
множества А
соответствm=
1;ет
множество ,
дополняющеk=
7;
его до
универсальl=
5;ого
множества.
|
Таблица истинности |
Диаграмма Эйлера-Венн&#= 1072; |
||||||
|
|
Л&#= 1086;гическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):
·= = в естественнl= 6;м языке соответствm= 1;ет обороту если ..= ., то ...;
· обозн = 72;чение Þ .
Импликация= - это логическая операция, ставящая в соответствl= 0;е каждым двум простым высказыванl= 0;ям составное высказыванl= 0;е, являющееся ложным тогд = 72; и только тогда, когда условие (пер= 074;ое высказыванl= 0;е) истинно, а следствие (в= 090;орое высказыванl= 0;е) ложно.
|
А |
В |
А Þ В |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Выс = 82;азывание «если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, т.к. из истинной предпосылкl= 0; делится ложный выво = 76;.
О= ;днако операция логическогl= 6; следования = 85;есколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если = 87;ервое высказыванl= 0;е (предпосылк = 72;) ложно, то вне зависимостl= 0; от истинности или ложност = 80; второго высказыванl= 0;я (вывода) составное высказыванl= 0;е истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылкl= 0; может следовать что угодно.
Логич= еская операция ЭК = 42;ИВАЛЕНЦИЯ (равнозначн = 86;сть):
·= = в естественнl= 6;м языке соответствm= 1;ет оборотам речи тогда и только тогд = 72;; в том и только в том случае;
·= = обоk= 9;начения Û , ~ .
Эквиваленц= ия – это л&= #1086;гическая операция, ставящая в соответствl= 0;е каждым двум простым высказыванl= 0;ям составное высказыванl= 0;е, являющееся истинным тогда и только тогд = 72;, когда оба исходных высказыванl= 0;я одновременl= 5;о истинны или одновременl= 5;о ложны. Табли= 094;а истинности эквиваленцl= 0;и:
|
А |
В |
А Û В |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Расl= 9;мотрим, напрl= 0;мер, два высказыванl= 0;я А =3D «компьютер может произ = 74;одить вычисления&raqu= o; и В =3D «компьютер включен». Составное высказыванl= 0;е, полученное = 89; помощью операции эквивалентl= 5;ости истинно, когда оба высказыванl= 0;я либо истинн = 99;, либо ложны.
«= ;компьютер может производитn= 0; вычисления тогда и только тогд = 72;, когда компьютер включен».
«= ;компьютер не мо = 78;ет производитn= 0; вычисления тогда и только тогд = 72;, когда компь = 02;тер не включен».
С= ;оставное высказыванl= 0;е, полученное = 89; помощью операции эквивалентl= 5;ости ложно, когда одно высказыванl= 0;е истинно, а другое — лож= 085;о,
«= ;Компьютер может производитn= 0; вычисления тогда и только тогд = 72;, когда компьютер н = 77; включен».
«= ;Компьютер не может производитn= 0; вычисления тогда и только тогд = 72;, когда компьютер выключен»
Логически = 77; операции имеют следующий приоритет:= действия в скобках, инверсия, &, SYMBOL 218 \f "Symbol" \s 11= Ú , Þ= , Û= .
Пример.
Определите
истинность
составного
высказыванl=
0;я:
( &
)
&<=
/span>
(C Ú
А =3D {Принтер – устройство вывода информации},
В =3D {Процессор – устройство хранения информации},
С =3D {Монитор R= 11; устройство вывода информации},
D =3D {Клавиатура = 211; устройство обработки информации}.
Сначk= 2;ла на основани = 80; знания устройства компьютера = 91;станавлива&#= 1077;м истинность простых высказыванl= 0;й: А =3D 1, = 042; =3D 0, С =3D 1, D =3D 0.
Опред = 77;лим теперь истинность составного = 74;ысказывани&#= 1103;, используя таблицы истинности логических операций:
( &
)
&(1&Ua=
cute;
0) =3D (0&=
amp;1) &am=
p; (1Ú 0) =3D 0
Соl= 9;тавное высказыванl= 0;е ложно.
Прl= 6;верим правильносm= 0;ь полученногl= 6; результата = 89; использоваl= 5;ием NumLock Calculator.
|
|
Опред&#= 1077;ление истинности составного логическог= 086; высказыван= 080;я с использова= 085;ием NumLock Calculator. |
|
|
1 |
За&#= 1087;устить программу NumLock Calculator. |
|
|
2 |
Ус&#= 1090;ановить удобный вид калькулято= 088;а командой [Вид калькулято= 088;а-Универсал= ьный]. |
|
|
3 |
Вв&#= 1077;сти составное логическое выражение, п&= #1086;дставив в него значения простых логических выражений. |
|
|
4 |
На&#= 1078;ать кнопку “=3D”, получим значение (0) составного логическог= 086; выражения, которое сов&#= 1087;адает с вычисленны= 084; алгебраиче= 089;ки. |
Приме = 88; 3.7. Даны три числа в различных системах счисления: А= =3D 2010, В =3D 1116, С =3D= 308. Переведите &= #1040;, В и С в двоичную систему счисления и выполните п = 86;разрядно логические операции (А Ú= В)&С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
|
|
Арифм&#= 1077;тические и логические операции с и&= #1089;пользовани= ;ем Wise Calculator. |
|
1 |
За&#= 1087;устить программу Wise Calculator. |
|
2 |
За&#= 1087;устить [Tools-Multi-Base Calcula= tor]. |
|
3 |
Вв&#= 1077;сти значение логическог= 086; аргумента A в текстовое поле Dec и аргумента B в текстовое поле Hex и c помощью группы переключат= 077;лей Operation выбрать оператор логическог= 086; сложения A or B. |
|
4 |
В окне Bin столбца Result появится результат (10101) поразрядно= 075;о логическог= 086; сложения чисел À =3D 2010, = Â =3D 1116. |
|
5 |
Вв&#= 1077;сти значение промежуточ= 085;ого результата в текстовое поле Bin и аргумента C в текстовое поле Oct и c помощью группы переключат= 077;лей Operation выбрать оператор логическог= 086; умножения A and = B. |
|
6 |
В о&=
#1082;не
Bin столбца Result
появится
результат (10000)
поразрядно=
075;о
логическог=
086;
умножения
чисел А Ú B =3D 10101 |
&nb= sp;
Пример 3.8. Какие из высказыванl= 0;й А, В, С должны быть истинн = 99; и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение ((A &Ua= cute; В) & В) &TH= ORN; С.
= 048;мпликация ложна на единственнl= 6;м наборе логических значений (1, 0). Значи= ;т, ((A Ú В)&В) = =3D 1, С =3D 0.
= 050;онъюнкция истинна на единственнl= 6;м наборе логических значений (1, 1). Значи= ;т, (A Ú В) =3D 1 и В =3D 1. <= /span>
Дизъюнкции истинна при наборах логических значений (0, 1) и (1, 1).
= Следователn= 0;но, существуют два набора л= 086;гических значений, удовлетворn= 3;ющих условию задачи: (А =3D 0, В<= /i> =3D 1, С =3D 0) и (А =3D 1, В =3D 1, = С =3D 0).
Задания для самостоятеl= 3;ьного выполнения (Ответы)
&nb= sp;
3.8. Ниже
приведена
таблица,
левая
колонка кот
=
86;рой
содержит
основные
логические
союзы
(связки), с
помощью котор=
;ых в
естественнl=
6;м
языке строя
=
90;ся
сложные
высказыванl=
0;я.
Заполните
правую
колонку
таблицы
соответствm=
1;ющими
названиями
логических
операций. В
естественн=
086;м
языке В
логике ... и ... ...&=
nbsp;
или ... Невер&#=
1085;о,
что ... ... в том =
080;
только в том
случае ... ... если ...,
то ... ... тогдk=
2;
и только
тогда, когда =
... … не … 3.9. Найдите
значения
логических
выражений: =
а) (1Ú1)Ú(1Ú0); =
б) ((1Ú0)Ú1)Ú1; =
в) (0Ú1)Ú(1Ú0); =
г) (0&1)&1; =
д) 1&(1&1)&1; =
е) ((1Ú0)&(1&1))&(0Ú1); =
ж) ((1&0)Ú(1&0))=
Ú1; =
и) ((0&0)Ú0)&(1<=
/span>Ú1). 3.10. Даны два
простых
высказыванl=
0;я:
&nb=
sp;
А =3D {2 =
´=
2 =3D 4}, В =3D {2 <=
/span>
´=
2 =3D 5}.
Какие из
составных
высказыванl=
0;й
истинны: а) в) А & В; г) A
Ú
В; д) А &TH=
ORN; В;
е) А &Uc=
irc; В. 3.11. Даны
простые
высказыванl=
0;я:
А =3D {5=
>3}, В
=3D {2=3D3} и С =3D {4<2}. Опl=
8;еделите
истинность
составных
высказыванl=
0;й:
а) (A Ú
B) =
& C Þ
(A&C) Ú (<=
i>B&C);
б) (A&B) Ú
C Û
(A Ú
C) =
& (A &
B).=
3.12.Да&=
#1085;ы
простые
высказыванl=
0;я:
А =3D
{Принтер –
устройство
ввода
информации}, В =3D
{Процессор –
устройство
обработки
информации}, С =3D {Монитор R=
11;
устройство
хранения
информации}, D =3D
{Клавиатура =
211;
устройство
ввода
информации}. Оl=
7;ределите
истинность
составных
высказыванl=
0;й:
а) (А&В)
&<=
/span>
(C
Ú
D); б) (А&В)
Þ=
(C
Ú
D); в) (&#=
1040; &Ua=
cute; В)
Û (C &am=
p; D); г) 3.13. Дан&=
#1086;
составное
высказыванl=
0;е
не (не А и B),
где A и B —
простые
высказыванl=
0;я.
В каком
случае данн
=
86;е
высказыванl=
0;е
будет ложны
=
84;?
3.14.
Выполните
поразрядноk=
7;
логическое
сложение
двоичных
чисел: а) 100 и 1=
10; б)
1010 и 1000; &=
nbsp; &nbs=
p; в)
101010 и 111111 3.15. Даны два
числа 568 и AF16. П&#=
1077;реведите
числа в
двоичную
систему и
выполните о
=
87;ерации
арифметичеl=
9;кого
сложение и
умножения, а
также
операции
поразрядноk=
5;о
логическогl=
6;
сложения и
умножения.
Проверьте п
=
88;авильность
полученных
результатоk=
4;
с помощью
калькулятоl=
8;а
Wise Calculator. 3.16. Проверьт&=
#1077;
правильносm=
0;ь
выполнения
заданий 3.6 - 3.9 с
помощью
калькулятоl=
8;а
NumLock Calculator. &nbs=
p;
Логической
(булевой) фун=
;кцией
называют
функцию F(Х1,=
Х2, ..., Хn),
аргументы
которой Х1,
Х2, ..., Хn
(независимы
=
77;
переменные) =
080;
сама функци =
03;
(зависимая
переменная)
принимают
значения 0
или 1. &=
nbsp;
Таблицу,
показывающm=
1;ю,
какие значе
=
85;ия
принимает
логическая
функция при
всех
сочетаниях
значений ее
аргументов,
называют
таблицей
истинности
логической
функции.
Таблица
истинности
логической
функции n ар&#=
1075;ументов
содержит 2n
строк,
n столбцов
значений
аргументов
=
80;
1 стол=
;бец
значений
функции. &=
nbsp;
Логические
функции
могут быть
заданы
табличным
способом ил
=
80;
аналитичесl=
2;и
— в виде
соответствm=
1;ющих
формул. &=
nbsp;
Если
логическая
функция
представлеl=
5;а
с помощью
дизъюнкций,
конъюнкций
=
80;
инверсий, то
такая форма
представлеl=
5;ия
называется <=
/b>нормальной=
;.
=
Существует 2 Таблица.
Логические
функции дву
=
93;
переменных А
=
88;гументы
Лог=
080;ческие
функции A B F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Пример. По
имеющимся
таблицам
истинности
выразите
через базов
=
99;е
логические
функции
(конъюнкцию,
дизъюнкцию
=
80;
отрицание)
следующие
функции: =
а)
F9(X, Y) =
б)
F15(X, Y) И
=
79;
таблицы
истинности
видно, что F9=
(X,
Y) =3D И
=
79;
таблицы
истинности
видно, что F15(X,
Y) =3D 1.
По имеющимс =
03;
таблицам
истинности
выразите че
=
88;ез
базовые
логические
функции
(конъюнкцию,
дизъюнкцию
=
80;
отрицание)
следующие
функции: а) F=
3(X,
Y); б)
F5(X, Y);&n=
bsp; в)
F7(X, Y);&n=
bsp; г)
F10(X, Y); д) F11( 2.
С помощью
электронныm=
3;
таблиц
(например, StarCalc)
построить
таблицы ист
=
80;нности
для всех
возможных
логических
=
92;ункций
двух
переменных. Таблицу,
показывающm=
1;ю, какие
значения
принимает
составное
высказыванl=
0;е
при
всех
сочетаниях
(наборах)
значений
входящих в
него просты
=
93;
высказыванl=
0;й, назыв=
;ают
таблицей
истинности
составного
высказыванl=
0;я.
Составные
высказыванl=
0;я
в алгебре
логики запи
=
89;ываются
с помощью
логических
выражений.
Для любого
логическогl=
6;
выражения д
=
86;статочно
просто пост
=
88;оить
таблицу
истинности. А&#=
1083;горитм
построения
таблицы
истинностl=
0;: 1)
подl=
9;читать
количество
переменных n=
в логическо
=
84;
выражении; 2)
опрk=
7;делить
число строк =
074;
таблице,
которое рав
=
85;о
m =3D 2n; 3)
подl=
9;читать
количество
логических
операций в
логическом
выражении и
определить
количество
столбцов в
таблице,
которое
равно
количествm=
1;
переменных плюс
количествl=
6;
операций; 4)
ввеl=
9;ти
названия
столбцов
таблицы в
соответствl=
0;и
с
последоватk=
7;льностью
выполнения
логических
операций с
учетом скоб
=
86;к
и
приоритетоk=
4;; 5)
запl=
6;лнить
стобцы
входных
переменных
наборами
значений; 6)
проk=
4;ести
заполнение
таблицы
истинности
=
87;о
столбцам,
выполняя
логические
=
86;перации
в
соответствl=
0;и
с
установленl=
5;ой в п.4
последоваm=
0;ельностью.
Наборы входных п=
077;ременных,
во избежани
=
77;
ошибок,
рекомендуюm=
0;
перечислятn=
0;
следующим
образом: а) разде
=
83;ить
колонку
значений
первой пере
=
84;енной
пополам и
заполнить
верхнюю
часть колон
=
82;и
нулями, а
нижнюю
единицами; б) разде
=
83;ить
колонку
значений
второй
переменной
=
85;а
четыре част
=
80;
и заполнить
каждую
четверть
чередующимl=
0;ся
группами
нулей и
единиц , начи&#=
1085;ая
с группы
нулей; в) продо
=
83;жать
деление
колонок
значений по
=
89;ледующих
переменных
на 8, 16 и т.д.
частей и зап=
086;лнение
их группами
нулей или
единиц до те=
093;
пор, пока
группы нуле
=
81;
и единиц не
будут
состоять из
одного
символа. П&#=
1088;имер. Для
формулы A&(B
Ú
з=
;) ((1&1)Ú0)&(0Ú1);
; б)
;
Û
.
Логичес=
;кие
функции
(отриц=
;ание
дизъюнкции).
(отриц=
;ание
конъюнкции).
Задания длn=
3;
самостоятеl=
3;ьного
выполнения
Логичес=
;кие
выражения и
таблицы
истинности
&
)
построить
таблицу
истинности
алгебраичеl=
9;ки
и с
использоваl=
5;ием
электронныm=
3;
таблиц.
Количеств
=
86; логически&=
#1093;
переменных 3,
следователn=
0;но,
количество
строк в
таблице
истинности
должно быть 2
Количеств = 86; логически&= #1093; операций в формуле 5, следователn= 0;но, количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 += 5 =3D 8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Задания длn= 3; самостоятеl= 3;ьного выполнения
1. Построить таблицы истинности для следующ = 80;х формул:
=
а) A Ú (B Ú Þ
)
=
б) A & (B & Þ
)
=
в) A Ú (B Ú ) & A Ú (B Þ
)
2. Выбр&= #1072;ть составное высказыванl= 0;е, имеющее ту ж= 077; таблицу истинности, что и не (не A и не(B и C)).
= 1) A и B или C и A;
= 2) (A или B) и (A и&= #1083;и C);
= 3) A и (B или C);
= 4) A или (не B и = 83;и не C);
3. Докажите с помощью таблиц истинности равносильнl= 6;сть следующих логических выражений:
а)
(А
Þ В) &
(А
Ú );
=
б) (А
Û В) & (А&&
).