MIME-Version: 1.0 Content-Location: file:///C:/268644F5/inf5.htm Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Type: text/html; charset="us-ascii" 5

&= #1057;истемы счисления

"Все есть число", = 212; говорили пифагорийц&#= 1099;, подчеркиваn= 3; необычайно важную роль чисел в практическl= 6;й деятельносm= 0;и. Известно мн = 86;жество способов представлеl= 5;ия чисел.  В любом  случае число изобр = 72;жается  символом  или гl= 8;уппой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представлеl= 5;ия чисел используютl= 9;я непозиционl= 5;ые и позиционныk= 7; системы счисления.

Непо= зиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появила = 89;ь потребностn= 0; в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытныm= 3; людей свидетельсm= 0;вуют о том, что первоначалn= 0;но количество = 87;редметов отображали равным количествоl= 4; каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стал = 80; группироваm= 0;ь по три или по пять. Такая система записи чисе = 83; называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знак = 72;, символизирm= 1;ющего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаютсn= 3; и сегодня. Та&#= 1082;, чтобы узнат = 00;, на каком курсе учитс = 03; курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на ег= 086; рукаве. Сами того не осознавая,  единичной системой сч = 80;сления пользуются малыши, показывая н = 72; пальцах свой возрас = 90;, а счетные палочки исп = 86;льзуется для обучени = 03; учеников 1-го класса счет = 91;.

&= nbsp;       Пример. Ознакомленl= 0;е с различным = 80; системами счисления.

<= u2:f eqn=3D"sum @8 21600 0"/><= u2:imagedata src=3D"file:///C:/WIN98/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.png" u1= :title=3D"?????????"/>

Систе= мы счисления.

1

За= 087;устить программу Систем= 099; счисления (файл sys= tem.exe хранится на <= /span>CD-ROM в каталоге <= span style=3D'font-size:11.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:Arial'>\<= span class=3DSpellE>soft\information\Systems\).

2

Вв= 077;сти команду [<= span class=3DGramE>Системы-Е&#= 1076;иничная].

3

В появившемс= 103; диалоговом окне Единич= ;ная система  ознакомит= 100;ся с содержание= 084; текстовых окон Истори= ;я системы и С&= #1091;щность системы, а в окне Кальку= ;лятор набрать какое-либо число.

        Ед&#= 1080;ничная система — не самый удобный спо = 89;об записи чисе = 83;. Записывать таким образом бол = 00;шие количества утомительнl= 6;, да и сами зап&#= 1080;си при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более у&#= 1076;обные, системы счисления.

Древне&= #1077;гипетская десятичная непозиционl= 5;ая система счисления. Примерно  в третьем тысячелетиl= 0; до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначениn= 3; ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использоваl= 3;ись специальныk= 7; значки — иероглифы.

      &nbs= p; Вl= 9;е остальные числа составлялиl= 9;ь из этих ключ= 077;вых при помощи операции сложения. Си= 089;тема счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционl= 5;ой.

!

В непозицион= 085;ых системах счисления количестве= 085;ный эквивалент  кажд = 86;й  цифр = 99; не зависит  от ее положения (места, позиции) в за= писи числа.

      &nbs= p; Нk= 2;пример, чтобы изобразить 3252 рисовали тр = 80; цветка лотоса (три тысячи), два свернутых п = 72;льмовых листа (две сотни), пять дуг (пять дес&#= 1103;тков) и два шеста (две единицы). Величина чи = 89;ла не зависела = 086;т того, в каком порядке располагалl= 0;сь составляющl= 0;е его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

4

Вв= 077;сти команду [&= #1057;истемы-Дреk= 4;неегипетск= 072;я].

5

В появившемс= 103; диалоговом окне Древне= ;египетская система ознакомить= 089;я с содержание= 084; текстовых окон Истори= ;я системы и С&= #1091;щность системы, а в окне Кальку= ;лятор набрать  числ = 86;, например, 3252.

  

        Римская система счисления. Примером непозиционl= 5;ой системы, которая  сохранилаl= 9;ь  до  наших= ;  дней, может служить система счисления, которая применяласn= 0; более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Рим = 77;. В основе римской системы счи = 89;ления лежали знак = 80; I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, k= 2; для обозначениn= 3; чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые букв = 99; соответств&= #1091;ющих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

        Чтобы записать число, римляне раз = 83;агали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полус= 086;тен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляk= 7;тся следующим образом:

XXVIII=3D10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три ед&#= 1080;ницы).

        Для записи промежуточl= 5;ых чисел римля = 85;е использоваl= 3;и не только сложение, но &#= 1080; вычитание. При этом применялосn= 0; следующее прави&#= 1083;о: каждый меньший зна = 82;, поставленнm= 9;й справа от большего, прибавляетl= 9;я к  его=   значению,  а  каждый мен = 00;ший знак,  поставленl= 5;ый слева от большего, вычитается из него.

        Например, IX — обозначае = 90; 9, XI — обозначает 11.<= /p>

        Десятичное число 99 имеет следующее п = 88;едставлени&#= 1077;:

XCIХ =3D -10+100-= 1+10.

=

6

За= 087;устить программу NumLock Calculator.

7

Вв= 077;сти команду [Формат р&= #1077;зультата-Рl= 0;мский].

8

В окне ввода данных ввести число, например, 99, и нажать клавишу со знаком «=3D». Появится ре&#= 1079;ультат, число, записанное в римской системе счисления.

 

 

   &= nbsp;    Римскими цифрами  пользовалl= 0;сь  очень долго.  Еще 200 лет наз= ;ад в деловых бумагах числа должн = 99; были обозна = 95;аться римскими цифрами  (считk= 2;лось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система  счисления = 89;егодня используетl= 9;я,  в основном,  для наименованl= 0;я знаменателn= 0;ных дат, томов, разделов и глав в книга= 093;.

        Алфавитные системы счисления. Более совершенныl= 4;и непозиционl= 5;ыми системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийскаn= 3; и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначалиl= 9;ь буквами алфавита.

        В алфавитно = 81; системе счисления Д = 88;евней Греции числ = 72; 1, 2, ..., 9 обозначалиl= 9;ь первыми девятью буквами греческого алфавита, на= 087;ример a = =3D 1, b =3D 2, g =3D 3  и т.д. Для обозначениn= 3; чисел 10, 20, ..., 90 применялисn= 0; следующие 9 букв (i =3D 10, k =3D 20, l =3D 30, m =3D 40  и т.д.),  а для обозначениn= 3; чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв (r =3D 100, s =3D 200, t =3D 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалоl= 9;ь rma= .

         = 059; славянских народов числовые зн&#= 1072;чения букв установили= 089;ь в порядке славянског= 086; алфавита, который использова= 083; сначала гла&#= 1075;олицу, а затем кириллицу. Подробнее с происхожде= 085;ием и развитием русской письменнос= 090;и можно ознакомить= 089;я на сайте «И= ;стория русской письменнос= 090;и», размеще = 85;ном на нашем CD-ROM.

Рис. Древнерусс= 082;ая алфавитная система счи&#= 1089;ления

        В России славянская нумерация сохраниласn= 0; до конца XVII века. При Петре I возобладалk= 2; так называемая арабская ну = 84;ерация, которой мы пользуемся = 80; сейчас. Слав= 103;нская нумерация сохраниласn= 0; только в бог= 086;служебных книгах.

        Непозиционl= 5;ые системы счисления имеют ряд существеннm= 9;х недостаткоk= 4;:

1. Существует постоянная  потребносm= 0;ь введения новых знако = 74; для записи больших чисел.

2. Невозможно представляm= 0;ь дробные и отрицательl= 5;ые числа.

3. Сложно выполнять арифметичеl= 9;кие операции, та= 082; как не сущес= 090;вует алгоритмов их выполнения.

 

П= 086;зиционные системы счисления

        Основные достоинствk= 2; любой позиц = 80;онной системы счисления — простота выполнения арифметичеl= 9;ких операций и ограниченнl= 6;е количество символов (цифр), необходимыm= 3; для записи любых чисел.

   &= nbsp;    Основанием позиционноl= 1; системы счи = 89;ления называется возводимое = 74; степень целое число, которое равн = 86; количеству цифр, используемm= 9;х для изображ = 77;ния чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количествеl= 5;ное значение цифры при перемещениl= 0; ее на соседн= 102;ю позицию.

        Возможно множество позиционныm= 3; систем,  так как за основание системы счи = 89;ления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименоваl= 5;ие системы счисления соответствm= 1;ет ее основани = 02; (десятичная, двоичная, восьмеричнk= 2;я, шестнадцатk= 7;ричная и т. д.). 

!

В = 087;озиционных системах счисления количестве= 085;ный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числ&#= 1072;.

            Десятичная система характеризm= 1;ется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу сле = 76;ующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляn= 2;т собой различные степени числа 10.

            В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов сл = 91;жат последоватk= 7;льные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Дл= 103; записи чисе = 83; в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

            В позиционноl= 1; системе счисления л = 02;бое  вещественl= 5;ое  число= ;  в развернутоl= 1; форме может быть предст = 72;влено в следующем виде:

Аq=3D ± (an-1q<= /span>n-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)        = ;

 или

Аq =3D ± aiqi=          

        Здесь А R= 12; само число,

q — основание системы счисления,

ai<= /sub> —цифры, принадлежаm= 7;ие алфавиту данной сист = 77;мы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

 

   &= nbsp;    Свернутой формой записи числ = 72; называется запись в вид= 077;

 

A=3Dan-1an-= 2...a1a0,a-1...a-= m

 
        Им&#= 1077;нно такой формо = 81; записи чисе = 83; мы и пользуе= 084;ся в повседнев = 85;ой жизни. Иначе свернутую форму запис = 80; называют естественнl= 6;й или цифрово = 81;.

      &= nbsp; Пример. Десятичное число А10=3D4718,63 в развернутоl= 1; форме запишется так:

А10=3D4·10= 3+7·10= 2+1·10= 1+8·10= 0+6·10= -1+3·10= -2

      &= nbsp; Пример. Двоичная система счисления.

   &= nbsp;    В двоичной системе счисления основание q=3D2. В этом случае формула принимает вид:

А2=3D ± (an-12n-1+an-22n-2+.= ..+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)

Здесь аi — возможные цифры (0, 1).

        Итак, двоичное  число= ;  предс= ;тавляет собой цепочку из нулей и един= 080;ц. При этом оно имеет достаточно  большое  число= ;  разрядов.  Быстр= ;ый рост  числа=   разрядов — = 089;амый существеннm= 9;й недостаток двоичной си = 89;темы счисления.

        Записав двоичное число А2=3D1001,1 в развернутоl= 4; виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное = 74; десятичной системе счисления:

А2=3D1= ·23= +0·22= +0·21= +1·20= +1·2-= 1 =3D 8+1+0,5 =3D 9,510.

     =    Пример. Восьмеричнk= 2;я система счисления.

Основание: q=3D8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричнl= 6;е число А8=3D7764,1  в развернутоl= 4; виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное = 74; десятичной системе счисления:

А8=3D7= ·83= +7·82= +6·81= +4·80= +1·8-= 1 =3D 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 =3D 4084,12510

        Приме= ;р.  Шестн= адцатеричнk= 2;я система счисления.

Основание: q=3D16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцатl= 0; имеют общепринятl= 6;е  обозначенl= 0;е 0,1, …9. Для запис= 080; остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно испо = 83;ьзуются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF16 означает:

3АF16<= sub> =3D 3·= 162+10·16= 1+15·16= 0 =3D 768+160+15 =3D 94310.

      &= nbsp; Пример. Запи= ;шем начало натуральноk= 5;о ряда чисел в  десятичноl= 1;  и  двоичной системах счисления:

А10

А2=

А10

А2=

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

10

11

100

101

110

111

8

9

10

11

12

13

14

15

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

 

 Задания дл= 103; самостоятеl= 3;ьного выполнения

1.    &= #1050;акой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах:

6789

3650

16

69

2.      Сравните числа III и 111, записанные = 74; римской и десятичной системах счисления..

3.      К = 72;кие числа запис = 72;ны римскими цифрами:

= 072;)  MCMXCIX;   б) CMLXXXVIII;   в) MCXLVII?=

4.      Запишите год,  месяц и число своег = 86; рождения c помощью римских циф = 88;.

5.      Н = 77;которые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько н = 77;верных равенств. Ка= 082; можно получить из них верные равенства, если разрешаетсn= 3; переложить = 89; одного мест = 72; на другое только одну = 089;пичку (палочку)?

&= nbsp;       V= II - V=3DXI        =          IX-V=3DVI

&= nbsp;       VI - IX=3DIII        =          VIII - III=3DX

6.      Заполните следующую таблицу:

С&= #1080;стема счисления

О&= #1089;нование

Ц&= #1080;фры

шестнадца= 090;еричная

16

 

десятична= 103;

 

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 

8

0,1,2,3,4,5,6,7

 

2

 

7.      Заполните следующую таблицу:

С&= #1080;стема счисления

О&= #1089;нование

Р&= #1072;зряды (степени)

десятична= 103;

10

10000

1000

100

10

1

восьмерич= 085;ая

8

 

 

 

 

 

двоичная

2

 

 

 

 

 

 

8.      З = 72;пишите в развернутоl= 4; виде числа:

а) А8=3D= 143511;

г) А10= =3D143,511;

б) А2=3D= 100111;

в) А16= =3D143511;

д) А8=3D0,143511;

е) А16= =3D1A3,5C1.

9.      З = 72;пишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= =3D 9·101+1·100+5·10-1+= 3·10-2;

б) А16= =3DА·161+1·160+7·16= -1+5·16-2.

10.      П = 88;авильно ли записаны числа в соот= 074;етствующих системах счисления:

а) А10=3D&#= 1040;,234;

б) А8=3D-56= 78;

в) А16=3D45= 6,46;

г) А2=3D22,= 2;

11.   Какое=   минимальнl= 6;е  основание имеет система счисления,  если k= 4; ней записан = 99; числа  127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисе = 83; в найденной системе счисления.

12.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018  1010116?

13.   Трехзначнl= 6;е десятичное число оканчиваетl= 9;я цифрой 3. Если эту цифру переместитn= 0; на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числ = 72;, то это новое число будет на единицу больше утро = 77;нного исходного числа. Найдите исходное число.

14.   Шест&= #1080;значное десятичное число начинается слева цифро = 81; 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последне = 77; место справ = 72;, то значение образованнl= 6;го числа будет втрое больш = 77; исходного. Найдите исходное число.

 =

15.   Како&= #1077; из  чисел=   1100112, 1114= , 358<= /sub> и 1В16 является:

        а) наибольшим;

        б) наименьшим.

16.   Существуеm= 0; ли треугольниl= 2;, длины сторо = 85; которого выражаются числами 128, 1116 и= ; 110112? =

17.   Какое наибольшее десятичное число можно = 079;аписать тремя цифрами в двоичной, восьмеричнl= 6;й и шестнадцатk= 7;ричной системах сч = 80;сления?

18.   "Нес&#= 1077;рьезные" вопросы.

        Когда 2×2=3D100 ?

        Когда 6×6=3D44?

        Когда 4×4=3D20?

 

= 19.   Выпи&= #1096;ите целые десятичные числа, принадлежаm= 7;ие следующим числовым промежуткаl= 4;:

а) [1011012; 1100002];

б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

 

20.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?

21.   В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

22.   В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

23.   Было 100q яблока. Посл= 077; того как каждое из ни= 093; разрезали пополам, стало 1000q<= span style=3D'mso-spacerun:yes'>  половинок. = 042; системе счисления с каким основанием вели счет?

24.   У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 ле= ;т. Старший учится в 1001 классе. Може= 090; ли такое быт= 100;?

25.   Некогда бы = 83; пруд,  в центре ко= 090;орого рос один лис= 090; водяной  лилии= ;. Каждый=   день  число таки = 93; листьев удваивалосn= 0;,  и на десятый ден = 00; вся поверхностn= 0; пруда уже была заполн = 77;на листьями лилий.  Сколько дней понадо = 73;илось, чтобы  заполнить  листь= ;ями  половину пруда?  Сколько листьев был = 86; после девятого дн = 03;?.

26.   Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающи = 93; заданное число, переведите = 74; двоичную си = 89;тему счисления следующие числа:

а) 5;

б) 7;

в) 12;

г) 25;

д) 32;

е) 33.

Проверит= ь правильносm= 0;ь перевода с помощью программы Advanced Converter.

 

&= #1042;ычисления в позиционныm= 3; системах счисления с использоваl= 5;ием калькулятоl= 8;а

        Для перевод = 72; чисел между = 076;есятичной, двоичной, восьмеричнl= 6;й и шестнадца = 90;еричной системами счисления воспользуеl= 4;ся  Wise<= /span> Calculator. В режиме Multi-Base Calculator появляетс= ;я многооконнk= 2;я панель, позволяющаn= 3; ввести числ = 86; в любой системе счисления и автоматичеl= 9;ки получить значения эт = 86;го числа в других системах счисления.

        Пример. Перевод чисел из одной системы в другую с пом= 086;щью программы Wise Calculator.

=

Перев= од чисел из одной системы счисления в другую.

1

За= 087;устить на выполнение Wise Calculator.

2

Вв= 077;сти кома= 085;ду [Tools-Multi-Base Calcula= tor...].

3

На появившейс= 103; многооконн= 086;й панели Multi= -Base Calculator ввести m= 5;исло в выбранной системе счисления в соответств= 091;ющее этой системе окно. Например, чи&= #1089;ло 11 в окно DEC.

4

В окнах BIN, OCT и HEX появятся значения числа в двоичной (10112), восьмеричн= 086;й (138)  и шестнадцат= 077;ричной (B16) системах счисления.

 

 

        В режиме Multi-<= /i>Base Calculator возможно проведение арифметичеl= 9;ких операций (сложение, вычитание и умножение) в различных системах счисления. Для этого в окна операндов A и B необходимо ввести числ = 72; (можно в различных системах счисления) и выбрать  в груl= 7;пе переключатk= 7;лей Operation арифметичеl= 9;кую операцию.

        Пример. Выполнение арифметичеl= 9;ких операций с п= 086;мощью программы Wise Calculator.

Арифм= етические операции в различных системах счисления.

1

За= 087;устить Wise Calculator &#= 1080; ввести кома= 085;ду [Tools-Multi-Base Calcula= tor...].

2

На появившейс= 103; многооконн= 086;й панели Multi= -Base Calculator ввести пару чисел в окна операндов A и B. Например,  восьмерич= 085;ое число 128 в окно OCT (операнд А) и шестнадцат= 077;ричное число 6416 в окно HEX (операнд B).

3

Вы= 073;рать в группе переключат= 077;лей Operation, например, операцию умножения A*B.

4

В окнах Result появится результат выполнения арифметиче= 089;кой операции одновремен= 085;о в четырех системах счисления: DEC (100010), BIN (11111010002), OCT (17508= )  и HEX (3Е816= ).

 

 

Задания дл= 103; самостоятеl= 3;ьного выполнения

П= 088;оверить с помощью Wise Calculator<= /span> правильно= ;сть выполнения заданий это = 81; главы по переводу чисел из одной системы счи = 89;ления в другую и выполнения арифметичеl= 9;ких операций в различных системах сч = 80;сления.